es maîtres de Descartes à La Flèche ont été frappés des dons exceptionnels de leur jeune élève en mathématiques. Par la suite, Descartes n'a pas cessé de souligner la valeur exemplaire de cette science pour donner à l'esprit le sens de la rigueur et le goût de l'exactitude. Jusqu'au moment où il rédige le Discours de la méthode (dont l'un des essais est La Géométrie), Descartes a pratiqué avec ardeur et bonheur les mathématiques. Sa correspondance avec les plus grands mathématiciens de ce temps - qui en compte beaucoup (Fermat, de Beaune, Petit, Hardy, Mydorge, Roberval, Desargues, plus tard le jeune Pascal) - témoigne de son incessante activité en cette matière où il occupe, cela va sans dire, la première place avec Fermat.

L'apport principal de Descartes consiste dans l'application des méthodes de l'algèbre (réformée par Viète au début du siècle) aux problèmes traditionnels de la géométrie tels qu'ils ont été pratiqués sans changement majeur depuis l'antiquité grecque (Apollonius et Archimède notamment). C'est parce qu'il veut épargner une inutile fatigue à l'imagination que Descartes invente le moyen d'exprimer les relations géométriques (entre les droites et les courbes) en équations algébriques, fondant par là ce que l'on appellera la géométrie analytique. Pour cela, il utilise le système des coordonnées rectangulaires qui permettent de rapporter les différents points d'une courbe à deux axes ayant même origine (coordonnées dites depuis cartésiennes). Le début de La Géométrie montre bien en quoi consiste cette nouvelle méthode de réduction des problèmes géométriques à ceux, plus simples et plus faciles, de l'algèbre ; après avoir comparé les opérations de l'arithmétique à celles de la géométrie « touchant les lignes qu'on cherche », Descartes ajoute ceci : « Ainsi, voulant résoudre quelque problème, on doit d'abord le considérer comme déjà fait, et donner des noms à toutes les lignes qui semblent nécessaires pour le construire, aussi bien à celles qui sont inconnues qu'aux autres. Puis, sans considérer aucune différence entre ces lignes connues et inconnues, on doit parcourir la difficulté selon l'ordre qui montre, le plus naturellement de tous, en quelle sorte elles dépendent mutuellement les unes des autres... ». On reconnaît là la méthode des équations algébriques, pour lesquelles Descartes propose une notation qui sera retenue par la suite. Il montre ainsi, comme le formule un de ses amis mathématiciens, « la relation et la convenance mutuelle de l'arithmétique et de la géométrie ». On peut ainsi prendre appui sur l'une pour résoudre les problèmes de l'autre, et réciproquement. Les barrières élevées entre les disciplines tombent, montrant ainsi, comme Descartes l'avait écrit aux premières lignes de son premier grand ouvrage, l'unité de l'esprit humain et son identité à travers les opérations les plus diverses.